Lokální extrémy funkce a monotónnost

Derivace Tečna a normála grafu funkce Funkce o dvou proměnných Integrály

Lokální extrémy funkce

Lokální extrémy funkce - tedy lokální maximum a lokální minimum odhalíme tak, že položíme první derivaci funkce rovnou nule a vypočítáme kořeny vzniklé rovnice.

Kořeny zmíněné rovnice mohou, ale také nemusí být lokální extrémy funkce! Proto říkáme, že to jsou body podezřelé z extrému. Jak oddělit zrno od plev (tedy jak najít opravdové extrémy) si ukážeme na příkladu.

 

Monotonnost funkce

Za tímto pojmem se skrývá hledání na jakém intervalu je funkce rostoucí a na jakém intervalu je funkce klesající.

Pro funkci rostoucí na intervalu I platí:

Pro funkci klesající na intervalu I platí:

Příklad: Najděte lokální extrémy funkce y = x³ - 2x² - 5x + 3 a určete na jakém intervalu je rostoucí a na jaké intervalu klesá.

 

Řešením kvadratické rovnice jsme dostali dva kořeny podezřelé z extrému. Pokud zjistíme, že právě v těchto bodech funkce mění svoji monotónnost tzn. z růstu přechází na klesání nebo naopak, pak tyto body můžeme s jistotou označit jako lokální extrémy funkce.

Pro další vyšetřování si sestrojíme tabulku:

možné extrémy x =		-0,79		2,12
interval I
zvolené x z intervalu I	-1		0		3
	+2		-5		+10
monotónnost

Oba podezřelé body jsou skutečně lokální extrémy funkce.