Gaussova eliminační metoda - Gaussova eliminace
Gaussova eliminační metoda - příkladySoustavy rovnic
Princip Gaussovy eliminační metody
Gaussovu eliminaci používáme pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Gaussovu eliminační metodu můžeme rozdělit do několika kroků:
- Úprava na horní trojúhelníkovou (HT) matici.
- Rozhodnutí, zda-li je soustava řešitelná, či nikoli.
- Určení počtu volitelných neznámých.
- Přepis řádků matice do rovnic. Dosazení do rovnic a výpočet neznámých.
Postup Gaussovy elimační metody si demonstrujeme na soustavě tří rovnic o třech neznámých x1, x2 a x3. Metoda se samozřejmě dá aplikovat i na další soustavy.
1. Gaussova eliminace - úprava na HT matici
- krok - první řádek matice vynásobíme takovým -k1, aby po součtu s druhým řádkem bylo a21 = 0
- krok - první řádek matice vynásobíme takovým -k2, aby po součtu s třetím řádkem bylo a31 = 0
- krok - druhý řádek matice vynásobíme takovým -k3, aby po součtu s třetím řádkem bylo a32 = 0
Někdy může být postup díky nedělitelnosti jednotlivých koeficientů o trochu složitější. Jak postupovat v takových případech si ukážeme na konkrétních příkladech.
2. Gaussova eliminace - otázka řešitelnosti soustavy
Nejprve si určíme hodnost matice A - h(A) a hodnost rozšíření matice - h(A|b).
- Soustava nemá řešení pokud h(A|b)
> h(A) (vždy když
) - Soustava má řešení pokud h(A|b) = h(A)
3. Počet volitelných neznámých - počet parametrizovaných neznámých
Číslo k nám udává počet volitelných neznámých, které si nahradíme parametry, n je počet neznámých. Někdy je číslo k označováno jako stupeň volnosti.
 |
Pokud k = 0, pak dostáváme jednoznačné řešení typu x1 = 2, x2 = 3, x3 = 10.
Pokud k = 1, pak dostáváme řešení typu x1 = 2 - p, x2 = 3 + p, x3 = p. Kde jsme si zvolili x3 jako parametr p. Na střední a základní škole o soustavách s takovýmto výsledkem říkáme, že mají nekonečně mnoho řešení.
4. Přepis řádků matice do rovnic a vyjádření neznámých
Z redukované matice A|b si přepíšeme všechny řádky a začneme odspoda vyjadřovat neznámé:
